已知函數(shù)f(x)=
1-x
ax
+lnx．
（1）當a=1時，求f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)g(x)=f(x)-
x
a
在區(qū)間（1，2）上不單調，求a的取值范圍．
分析：（1）當a=1時，準確求出函數(shù)的導數(shù)是解決本題的關鍵，求函數(shù)的最值要研究函數(shù)在定義區(qū)間的單調性，通過函數(shù)的單調性解決本題；
（2）將函數(shù)在給定區(qū)間上不單調問題進行等價轉化是解決本題的關鍵，即將原函數(shù)不單調問題轉化為導函數(shù)在給定區(qū)間上有根問題，利用分離常數(shù)法解決本題．
解答：解：（1）當a=1時，f(x)=
1
x
+lnx-1，f′(x)=-
1
x2
+
1
x
=
x-1
x2
(x＞0)，
令f′（x）=0得x=1．f′（x）＜0得0＜x＜1，f′（x）＞0得1＜x，
∴f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
故fmin（x）=f（1）=0．
（2）g(x)=f(x)-
x
a
=
1-x
ax
+lnx-
x
a
.g′(x)=-
1
ax2
+
1
x
-
1
a
=-
x2-ax+1
ax2
．
∵g（x）在（1，2）上不單調，
∴x2-ax+1=0在（1，2）上有根且無重根．
即方程a=x+
1
x
在（1，2）有根，且無重根．
∴2＜a＜
5
2
．
點評：本題考查導數(shù)研究函數(shù)的最值、單調性等問題，考查學生的轉化與化歸思想，求最值時候要注意研究函數(shù)的單調性，將函數(shù)的單調性問題轉化為導函數(shù)的正負問題，本題又一個考點是利用分離常數(shù)法求字母的取值范圍，將字母的取值范圍轉化為相應函數(shù)的值域問題，通過求函數(shù)的值域達到解決本題的目的．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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