Question

(09年山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)綜合測(cè)試?yán)?（本小題滿分13分）已知橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線是拋物線的一條切線．

   （1）求橢圓的方程；

   （2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一

        個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，

        請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解析：（1）由

    因直線相切，

    ，

    ∵圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角

    形，∴

    故所求橢圓方程為 

  （2）當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：        

    當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：  

    由

    即兩圓相切于點(diǎn)（0，1）

    因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）

    事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)，證明如下．

    當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T（0，1）

    若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L：

    由

    記點(diǎn)、 

   

     

   

    所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（0，1）

    所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿足條件．