如圖,已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱A1A垂直于底面AB-CD,底面ABCD是邊長為2的正方形,四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形,DD1=2.
(1)求證:平面A1ACC1丄平面B1BDD1
(2)求四棱錐A-CDD1C1的體積.

【答案】分析:(1)先證明BD⊥AC,然后證明BD⊥平面A1ACC1.即可證明平面A1ACC1⊥平面B1BDD1
(2)過點A作AH⊥DD1,交DD1于點H.證明CD⊥平面A1ADD1,判斷四邊形CDD1C1為直角梯形,然后求出四棱錐A-CDD1C1的體積.
解答:解:(1)∵AA1⊥平面ABCD,∴AA1⊥BD,即BD⊥AA1,
又底面ABCD為正方形,∴BD⊥AC,
∵AC∩AA1=A,AC?平面A1ACC1,AA1?平面A1ACC1,
∴BD⊥平面A1ACC1.而BD?平面B1BDC1
∴平面A1ACC1⊥平面B1BDD1
(2)過點A作AH⊥DD1,交DD1于點H.
∵AA1⊥平面ABCD,∴平面A1ADD1⊥平面ABCD.
又平面CDD1C1∩平面ABCD=AD,CD⊥AD.
∴CD⊥平面A1ADD1,∵平面CDD1C1∩平面A1ADD1=DD1
∴AH⊥平面CDD1C1.在直角梯形A1ADD1中,A1D1=1,D1D=2.AD=2.
∴AH=.∵CD⊥平面A1ADD1.CD⊥DD1.∴四邊形CDD1C1為直角梯形,
∵C1D1=1.CD=D1D=2.∴四邊形CDD1C1的面積S=3.
∴四棱錐A-CDD1C1的體積
點評:本題考查直線與平面垂直,平面與平面垂直,幾何體的體積的求法,考查空間想象能力,計算能力.
練習(xí)冊系列答案
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(2012•安徽模擬)如圖,已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱A1A垂直于底面AB-CD,底面ABCD是邊長為2的正方形,四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形,DD1=2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

(必做題)先閱讀:如圖,設(shè)梯形ABCD的上、下底邊的長分別是a,b(a<b),高為h,求梯形的面積.
方法一:延長DA、CB交于點O,過點O作CD的垂線分別交AB、CD于E、F,則EF=h.
設(shè)OE=x,∵△OAB∽△ODC,∴
x
x+h
=
a
b
,即x=
ah
b-a

∴S梯形ABCD=S△ODC-S△OAB=
1
2
b(x+h)-
1
2
ax=
1
2
(b-a)x+
1
2
bh=
1
2
(a+b)h.
方法二:作AB的平行線MN分別交AD、BC于MN,過點A作BC的平行線AQ分別于MN、DC于PQ,則△AMP∽△ADQ.
設(shè)梯形AMNB的高為x,MN=y,
x
h
=
y-a
b-a
⇒y=a+
b-a
h
x,∴S梯形ABCD=
h
0
(a+
b-a
h
x)dx=(ax+
b-a
2h
x2
|
h
0
=ah+
b-a
2h
•h2=
1
2
(a+b)h.
再解下面的問題:
已知四棱臺ABCD-A′B′C′D′的上、下底面的面積分別是S1,S2(S1<S2),棱臺的高為h,類比以上兩種方法,分別求出棱臺的體積(棱錐的體積=
1
3
×底面積×高).

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(2)求四棱錐A-CDD1C1的體積.

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