Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-1|．
（1）求函數(shù)y=f（f（x））的解析式；
（2）試做簡圖判斷g（x）=f（f（x））+lnx在（0，1）上的零點數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關系,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用分段函數(shù)的性質(zhì)，分別討論x的取值范圍即可求函數(shù)y=f（f（x））的解析式；
（2）由g（x）=0，得到f（f（x））=-lnx，分別作出函數(shù)y=f（f（x））和y=-lnx在（0，1）上圖象，利用數(shù)形結合的思想即可求出函數(shù)零點的個數(shù)．

解答： 解：（1）f（x）=|2x-1|=

2x-1，x≥ 1 2 1-2x，x＜ 1 2

，
由2x-1=

1

2

得x=

3

4

，
由1-2x=

1

2

，得x=

1

4

，
∴當x≤

1

4

時，1-2x≥

1

2

，此時y=f（f（x））=f（1-2x）=2（1-2x）-1=1-4x，
當

1

4

＜x＜

1

2

時，1-2x＜

1

2

，此時y=f（f（x））=f（1-2x）=1-2（1-2x）=4x-1，
當

1

2

＜x＜

3

4

時，2x-1＜

1

2

，此時y=f（f（x））=f（2x-1）=1-2（2x-1）=-4x+3，
當x≥

3

4

時，2x-1≥

1

2

，此時y=f（f（x））=f（2x-1）=2（2x-1）-1=4x-3，
綜上y=f（f（x））=

1-4x，x≤ 1 4 4x-1， 1 4 ＜x＜ 1 2 -4x+3， 1 2 ＜x＜ 3 4 4x-3，x≥ 3 4

．
（2）由g（x）=f（f（x））+lnx=0得f（f（x））=-lnx，
分別作出函數(shù)y=f（f（x））和y=-lnx在（0，1）上圖象如圖：
由圖象可知兩個函數(shù)在（0，1）上的交點個數(shù)為3個，
即g（x）=f（f（x））+lnx在（0，1）上的零點數(shù)為3個．

點評：本題主要考查復合函數(shù)解析式的求法，以及函數(shù)零點的個數(shù)判斷，綜合性較強，運算量較大，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．