Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+b，其中a，b∈R．
（1）若函數f（x）在（0，2）上單調遞增，求實數a的取值范圍．
（2）當x∈（0，1]時，y=f（x）圖象上任意一點處的切線的傾斜角為θ，且0≤θ≤

π

4

，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導數，利用函數f（x）在（0，2）上單調遞增，f′（x）≥0恒成立，列出關系式，求實數a的取值范圍．
（2）通過0≤θ≤

π

4

，求出斜率的范圍，即可得到導函數的值域的范圍，然后求a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax，要使f（x）在（0，2）上單調遞增，
則f′（x）≥0在（0，2）上恒成立，（2分）
∵f′（x）是開口向下的拋物線，
∴

f′(0)≥0 f′(2)=-12+4a≥0

，∴a≥3．（6分）
（2）∵0≤θ≤

π

4

，∴tanθ=-3x²+2ax∈[0，1]．
據題意0≤-3x²+2ax≤1在（0，1]上恒成立，（9分）
由-3x²+2ax≥0，得a≥

3

2

x，a≥

3

2

，（11分）
由-3x²+2ax≤1，得a≤

3

2

x+

1

2x

．
又

3

2

x+

1

2x

≥

3

（當且僅當x=

3

3

時取“=”），
∴a≤

3

（13分）
綜上，a的取值范圍是

3

2

≤a≤

3

．（14分）

點評：本題考查函數的導數求解函數的單調性以及函數的切線的斜率的范圍，導數的幾何意義，考查計算能力．