Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x+1，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=f（a_n），其中n∈N^*．
（Ⅰ）證明：1＜a_n＜a_n+1；
（Ⅱ）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)a_n+1-a_n=a_n²-a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0 可得a_n+1＞a_n，而a_n≥a₁=2＞1，可得結(jié)論；
（II）將a_n+1=a_n²-a_n+1轉(zhuǎn)化成a_n+1-1=a_n（a_n-1），然后利用裂項求和法進(jìn)行求和，即可證得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：∵a_n+1-a_n=a_n²-a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0 …2分
∴a_n≥a₁=2＞1，則（a_n-1）²≠0⇒a_n+1＞a_n 所以1＜a_n＜a_n+1 …5分
（Ⅱ）證明：a_n+1=a_n²-a_n+1⇒a_n+1-1=a_n（a_n-1）
所以 …7分
得

所以 …10分
==…12分
點評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，同時考查了裂項求和法的運用和計算能力的考查，屬于中檔題．