Question

如圖，PO⊥平面ABCD，點O在AB上，EA∥PO，四邊形ABCD為直角梯形，BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=CD，
(Ⅰ)求證：PE⊥平面PBC；
(Ⅱ)直線PE上是否存在點M，使DM∥平面PBC，若存在，求出點M；若不存在，說明理由；
(Ⅲ)求二面角E-BD-A的余弦值。

Answer 1

解：(Ⅰ) ∵EA∥OP，AO平面ABP， ∴點A，B，P，E共面， ∵PO⊥平面ABCD，PO平面PEA， ∴平面PEAB⊥平面ABCD， ∵BC平面ABCD，BC⊥AB，平面PFAB∩平面ABCD=AB， ∴BC⊥平面PEAB，PE⊥BC， 由平面幾何知識知PE⊥PB， 又BC∩PB=B， ∴PE⊥平面PBC。  (Ⅱ)點E即為所求的點，即點M與點E重合， 取PB的中點F，連接EF，CF，DE， 由平面幾何知識知EF∥AB，且EF=DC， ∴四邊形DCEF為平行四邊形，所以DE∥CF， ∵CF在平面PBC內(nèi)，DE不在平面PBC內(nèi)， ∴DE∥平面PBC。
(Ⅲ)由已知可知四邊形BCDO是正方形，顯然OD，OB，OP兩兩垂直， 如圖建立空間直角坐標系，設(shè)DC=1， 則， 設(shè)平面BDE的一個法向量為，并設(shè)=（x，y，z）， ， ，即，取y=1，則x=1，z=3， 從而， 取平面ABD的一個法向量為， ， 故二面角E-BD-A的余弦值為。