Question

設函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）
（1）若關于x的不等式f（x）-m≥0在[0，e-1]有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．
（2）設g（x）=f（x）-x²-1，若關于x的方程g（x）=p至少有一個解，求p的最小值．
（3）證明不等式：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意得f（x）_max≥m，x∈[0，e-1]，求導數(shù)，求得函數(shù)的單調性，從而可得函數(shù)的最大值；
（2）求導函數(shù)，求得函數(shù)的單調性與最值，從而可得p的最小值；
（3）先證明ln（1+x）≤x，令，則x∈（0，1）代入上面不等式得：，從而可得
．利用疊加法可得結論．
解答：（1）解：依題意得f（x）_max≥m，x∈[0，e-1]
∵，而函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞）
∴f（x）在（-1，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）在[0，e-1]上為增函數(shù)，∴
∴實數(shù)m的取值范圍為m≤e²-2
（2）解：g（x）=f（x）-x²-1=2x-2ln（1+x）=2[x-ln（1+x）]，∴
顯然，函數(shù)g（x）在（-1，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)
∴函數(shù)g（x）的最小值為g（0）=0
∴要使方程g（x）=p至少有一個解，則p≥0，即p的最小值為0
（3）證明：由（2）可知：g（x）=2[x-ln（1+x）]≥0在（-1，+∞）上恒成立
所以ln（1+x）≤x，當且僅當x=0時等號成立
令，則x∈（0，1）代入上面不等式得：
即，即
所以ln2-ln1＜1，，，…，
將以上n個等式相加即可得到：
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性與最值，考查不等式的證明，考查恒成立問題，屬于中檔題．