Question

已知點A、B、C的坐標分別為A（t，0），B（0，4），C（cosα，sinα），其中t∈R，α∈[

π

3

，

4π

3

]．
（Ⅰ）若t=4，

AC

•

BC

=-2，求

2sin2α+sin2α

1+tanα

的值；
（Ⅱ）記f(α)=|

AC

|，若f（α）的最大值為3，求實數(shù)t的值．

Answer 1

分析：（I）當t=4時，

AC

=(cosα-4，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-4)，由已知

AC

•

BC

=-2可得sinα+cosα=

3

4

，利用同角平方關(guān)系可求sinαcosα，對

2sin2α+sin2α

1+tanα

進行化簡，代入可求
（Ⅱ）由f(α)=|

AC

|=

(cosα-t)2+sin2α

=

t2-2tcosα+1

，由α∈[

π

3

，

4π

3

]可得-1≤cosα≤

1

2

，分①t＞0，②t＜0，兩種情況討論求解

解答：解：（Ⅰ）∵A（t，0），B（0，4），C（cosα，sinα）
∴

AC

=(cosα-t，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-4)
當t=4時，

AC

=(cosα-4，sinα)
∴

AC

•

BC

=cosα(cosα-4)+sinα(sinα-4)=cos²α-4cosα+sin²α-4sinα
=1-4（cosα+inα）=-2
∴sinα+cosα=

3

4

∴2sinαcosα=-

7

16

∴

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sin2α+2sinαcosα

1+ sinα cosα

=

2sinαcosα(sinα+cosα)

cosα+sinα

=2sinαcosα=-

7

16

（Ⅱ）∵f(α)=|

AC

|=

(cosα-t)2+sin2α

=

t2-2tcosα+1

∵α∈[

π

3

，

4π

3

]
∴-1≤cosα≤

1

2

若t＞0，則f（x）_max=

1+t2+2t

=3
∴t=2
若t＜0，則f（x）_max=

1+t2-t

=3
∴t=

1- 33

2

∴t=2或

1- 33

2

點評：本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標表示，三角函數(shù)的同角平方關(guān)系及三角函數(shù)的基本關(guān)系，向量的數(shù)量積的性質(zhì)及三角函數(shù)性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用．