Question

20．若直線l過點(diǎn)P（-3，-$\frac{3}{2}$）且被圓x²+y²=25截得的弦長是8，則直線l的方程為（　�。�

• A． 3x+4y+15=0
• B． x=-3或3x+4y+15=0
• C． x=-3或y=-$\frac{3}{2}$
• D． x=-3

Answer 1

分析 算出圓心為O（0，0）、半徑r=5，根據(jù)垂徑定理算出直線到圓心的距離等于3．討論直線斜率存在時設(shè)直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于k的等式，解出k，可得直線的方程；當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為x+3=0，到圓心的距離也等于3，符合題意．由此即可得所求的直線方程．

解答 解：圓x²+y²=5的圓心為O（0，0），半徑r=5；
設(shè)圓心到直線的距離為d，
①當(dāng)過點(diǎn)P（-3，-$\frac{3}{2}$）的直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y+$\frac{3}{2}$=k（x+3），即2kx-2y+6k-3=0，
∵直線圓x²+y²=25截得弦長為8，
∴根據(jù)垂徑定理，得$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=4，即$\sqrt{25{-d}^{2}}$=4，解得d=3；
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得$\frac{|6k-3|}{\sqrt{{4k}^{2}+4}}$=3，解之得k=-$\frac{3}{4}$，
此時直線的方程為y+$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{4}$（x+3），化簡得3x+4y+15=0；
②當(dāng)過點(diǎn)P（-3，-$\frac{3}{2}$）的直線斜率不存在時，
直線方程為x=-3，即x+3=0；
由圓心到直線的距離d=3，可得直線被圓截得的弦長也等于8，符合題意；
綜上，所求的直線方程為3x+4y+15=0或x+3=0．
故選：B．

點(diǎn)評 本題給出經(jīng)過定點(diǎn)的直線被圓O截得的弦長，求直線的方程；著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．