Question

（2012•藍山縣模擬）在四邊形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且

AB

 • 

AC

=50．
（1）求三角形ABC的面積和邊BC的長度；
（2）求sin∠BAD的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可求得cos∠BAC，繼而可得sin∠BAC，從而可得S_△ABC，再由余弦定理求得BC即可；
（2）在Rt△CAD中，求得sin∠CAD，cos∠CAD，利用兩角和的正弦即可求得答案．

解答：解：（1）由已知|

AB

|=13，|

AC

|=

AD2+CD2

=10，

AB

 • 

AC

=50⇒

|AB|

•

|AC|

•cos∠BAC=50，
∴cos∠BAC=

5

13

，（3分）
∴sin∠BAC=

12

13

，
則S_△ABC=

1

2

AB•ACsin∠BAC
=

1

2

×13×10×

12

13

=60（5分）
由余弦定理得BC=

AB2+AC2-2AB • ACcos∠BAC

=13（7分）
（2）在Rt△CAD中，sin∠CAD=

CD

AC

=

6

10

=

3

5

，cos∠CAD=

AD

AC

=

4

5

，（9分）
∴sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）
=sin∠BAC•cos∠CAD+cos∠BAC•sin∠CAD
=

63

65

．（12分）．

點評：本題通過考查平面向量數(shù)量積的運算，考查余弦定理及其應(yīng)用，考查分析與運算的能力，屬于中檔題．