Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△ABE為等腰三角形，AE=BE=

2

，平面ABCD⊥平面ABE，
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角D-CE-A的余弦值的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出AD⊥AB，AD⊥BE，AE⊥BE，由此能證明BE⊥平面ADE，從而得到平面ADE⊥平面BCE．
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D-CE-A的余弦值的大小．

解答： （Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥AB，…（1分）
又∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面ABE，∵BE?平面ABE，
∴AD⊥BE，…（2分）
又∵AE=BE=

2

AB=2，
∴AB²=AE²+BE²，
∴AE⊥BE，…（3分）
∵AD∩AE=A，AD、AE?平面ADE，
∴BE⊥平面ADE，∵BE?平面BCE，
∴平面ADE⊥平面BCE．…（5分）
（Ⅱ）解：取AB的中點O，由于△ABC是等腰三角形，
且平面ABCD⊥平面ABE，
如圖建立直角坐標系，…（6分）
則A（0，-1，0），D（0，-1，2），
C（0，1，2），E（1，0，0），
∴

DC

=(0，2，0)，

CE

=(1，-1，-2)，

AE

=(1，1，0)，
設(shè)平面EDC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • DC =2y=0 n • CE =x-y-2z=0

，取x=2，得

n

=(2，0，1)，…（8分）
設(shè)平面EAC的法向量為

m

=(x1，y1，z1)，
則

m • AE =x1+y1=0 m • CE =x1-y1-2z1=0

，取x=1，得

m

=（1，-1，1）…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

2+1

5 • 3

=

15

5

，
∴二面角D-CE-A的余弦值的大小為

15

5

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．