Question

小張經營某一消費品專賣店，已知該消費品的進價為每件40元，該店每月銷售量y（百件）與銷售單價x（元/件）之間的關系用如圖的一折線表示，職工每人每月工資為1000元，該店還應交付的其它費用為每月10000元．
（1）把y表示為x的函數；
（2）當銷售價為每件50元時，該店正好收支平衡，求該店的職工人數；
（3）若該店只有20名職工，問銷售單價定為多少元時，該專賣店月利潤最大？（利潤=收入-支出）

Answer 1

考點：函數最值的應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）直接分段寫出兩個一次函數的解析式；
（2）設出該店擁有職工的人數，求出當x=50時該店的總收入，由收支平衡列式得答案；
（3）分段寫出該店只有20名職工的月利潤：S=

(-2x+140)(x-40)×100-30000，(40≤x≤60) (- 1 2 x+50)(x-40)×100-30000，(60＜x≤80)

，然后分段求出最值得答案．

解答： 解：（1）當40≤x≤60時，由兩點式得AB：

y-60

20-60

=

x-40

60-40

，
即y=-20x+140；
當60＜x≤80時，由兩點式得BC：

y-20

10-20

=

x-60

80-60

，
即y=-

1

2

x+50；
∴y=

-2x+140，(40≤x≤60) - 1 2 x+50，(60＜x≤80)

；
（2）設該店擁有職工m名，當x=50時，該店的總收入為
y（x-40）×100=100（-2x+140）（x-40）=40000元．
又該店的總支出為1000m+10000元，
依題意得40000=1000m+10000，解得：m=30．
∴此時該店有職工30名；
（3）若該店只有20名職工，則月利潤：
S=

(-2x+140)(x-40)×100-30000，(40≤x≤60) (- 1 2 x+50)(x-40)×100-30000，(60＜x≤80)

．
當40≤x≤60時，S=-2（x-55）²+15000，
∴x=55時，S取最大值15000元；
當60＜x≤80時，S=-

1

2

(x-70)2+15000，
∴x=70時，S取最大值15000元；
故當x=55或x=70時，S取最大值15000元，
即銷售單價定為55或70元時，該專賣店月利潤最大．

點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，考查了簡單的數學建模思想方法，訓練了分段函數最值的求法，是中檔題．