Question

已知函數(shù)

若函數(shù)在和上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，求的值；

討論函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

如果存在，使函數(shù)，，在處取得最小值，試求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

;當(dāng)時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為;

.

【解析】

試題分析：通過求導(dǎo)以及極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算的值為1；通過導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；先寫出函數(shù)表達(dá)式，是一個(gè)三次多項(xiàng)式.由，在處取得最小值知在區(qū)間上恒成立，從而得 再討論與時(shí)利用二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題解得.

試題解析：（Ⅰ）                                      1分

函數(shù)在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

∴為的兩個(gè)極值點(diǎn)，∴即           3分

解得：                                                        4分

（Ⅱ），的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092223513871445833/SYS201309222352545192250670_DA.files/image029.png">，

              5分

當(dāng)時(shí)，由解得，的單調(diào)減區(qū)間為         7分

當(dāng)時(shí)，由解得，的單調(diào)減區(qū)間為  9分

（Ⅲ），據(jù)題意知在區(qū)間上恒成立，即①                          10分

當(dāng)時(shí)，不等式①成立；

當(dāng)時(shí)，不等式①可化為②           11分

令，由于二次函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，故它在閉區(qū)間上的最小值必在端點(diǎn)處取得，又，所以不等式②恒成立的充要條件是，即                         12分

即，因?yàn)檫@個(gè)關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，所以

                  13分

又，故，                   14分

考點(diǎn)：1.函數(shù)的求導(dǎo)；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性；3.利用二次函數(shù)圖象解一元二次不等式的恒成立問題.