Question

設(shè)雙曲線C：=1（a＞0）與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點(diǎn)A、B．
（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（II）設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且．求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0和方程二次項(xiàng)系數(shù)不等于0求得a的范圍，進(jìn)而利用a和c的關(guān)系，用a表示出離心率，根據(jù)a的范圍確定離心率的范圍．
（II）設(shè)出A，B，P的坐標(biāo)，根據(jù)求得x₁和x₂的關(guān)系式，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，聯(lián)立方程求得a．
解答：解：（I）由C與l相交于兩個不同的點(diǎn)，故知方程組
有兩個不同的實(shí)數(shù)解．消去y并整理得
（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①
所以
解得0＜a＜且a≠1．
雙曲線的離心率
．
∵且a≠1，
∴且
即離心率e的取值范圍為．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1）
∵，
∴．
由此得．
由于x₁和x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
所以．
x₁•x₂=．
消去x₂，得
由a＞0，所以a=．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．