Question

設(shè)a＞1，若關(guān)于x的方程a^x=log_ax有實(shí)根，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)y=a^x與y=log_ax關(guān)于y=x對(duì)稱，只需要討論與y=x有解即可，構(gòu)造函數(shù)h（x）=a^x-x，只須h（x）的最小值小于等于0，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：由于函數(shù)y=a^x與y=log_ax關(guān)于y=x對(duì)稱，只需要討論與y=x有解即可，
令h（x）=a^x-x，則函數(shù)h（x）有零點(diǎn)，
當(dāng)a＞1時(shí)，令h′（x）=a^xlna-1=0，則x=loga

1

lna

，
當(dāng)0＜x＜loga

1

lna

時(shí)，h′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)h（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x＞loga

1

lna

時(shí)，h′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)h（x）為增函數(shù)；
故當(dāng)x=loga

1

lna

時(shí)，函數(shù)h（x）取最小值，
若函數(shù)h（x）有零點(diǎn)，則h（loga

1

lna

）≤0，
即

1

lna

=log_ae≤loga

1

lna

，
即e≤

1

lna

，
即0＜lna≤

1

e

，
即1＜a≤e

1

e

，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，e

1

e

]，
故答案為：（1，e

1

e

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，反函數(shù)，導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)等的綜合應(yīng)用，運(yùn)算量大，綜合性可，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．