Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

3

，右焦點F也是拋物線y²=4x的焦點．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線l與C相交于A、B兩點．
①若

AF

=2

FB

，求直線l的方程；
②若動點P滿足

OP

=

OA

+

OB

，問動點P的軌跡能否與橢圓C存在公共點？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線求得焦點F的坐標(biāo)，求得橢圓的才，進(jìn)而利用離心率求得a，則b可求得，進(jìn)而求得橢圓的方程．
（2）①當(dāng)直線l的斜率為0時利用

AF

=2

FB

可求得y₁=-2y₂．設(shè)出直線l的方程代入橢圓的方程消去x，利用韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂利用

AF

=2

FB

建立方程求得m，則直線l的方程可得．
②問題可轉(zhuǎn)化為是不是在橢圓上存在點P使得

OP

=

OA

+

OB

成立．當(dāng)直線l是斜率為0時，可以驗證不存在這樣的點，故設(shè)直線方程，用①的設(shè)法，可推斷出點P點的坐標(biāo)，代入橢圓方程把A，B坐標(biāo)代入橢圓的方程，整理求得2x₁x₂+3y₁y₂+3=0，利用（1）中y₁+y₂和y₁y₂建立等式求得m，最后分別進(jìn)行驗證推斷出結(jié)論．

解答：解：（1）根據(jù)F（1，0），即c=1，據(jù)

c

a

=

3

3

得a=

3

，故b=

2

，
所以所求的橢圓方程是

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）①當(dāng)直線l的斜率為0時，檢驗知

AF

≠2

FB

．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．，
根據(jù)

AF

=2

FB

得（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂）得y₁=-2y₂．
設(shè)直線l：x=my+1，代入橢圓方程得（2m²+3）y²+4my-4=0，
故y1+y2=-

4m

2m2+3

，y1y2=-

4

2m2+3

，得y1=-

8m

2m2+3

y2=

4m

2m2+3

，
代入y1y2=-

4

2m2+3

得(-

8m

2m2+3

)(

4m

2m2+3

)=-

4

2m2+3

，即

8m2

2m2+3

=1，
解得m=±

2

2

，故直線l的方程是x=±

2

2

y+1．
②問題等價于是不是在橢圓上存在點P使得

OP

=

OA

+

OB

成立．
當(dāng)直線l是斜率為0時，可以驗證不存在這樣的點，
故設(shè)直線方程為l：x=my+1．
用①的設(shè)法，點P點的坐標(biāo)為（x₁+x₂，y₁+y₂），
若點P在橢圓C上，則

(x1+x2)2

3

+

(y1+y2)2

2

=1，
即

x12+2x1x2+x22

3

+

y12+2y1y2+y22

2

=1，
又點A，B在橢圓上，故

x12

3

+

y12

2

=1，

x22

3

+

y22

2

=1，
上式即

2x1x2

3

+y1y2+1=0，即2x₁x₂+3y₁y₂+3=0，
由①知x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=-

4m2

2m2+3

-

4m2

2m2+3

+1=-

8m2

2m2+3

+1，
代入2x₁x₂+3y₁y₂+3=0得-

16m2

2m2+3

+2-

12

2m2+3

+3=0，
解得m2=

1

2

，即m=±

2

2

．
當(dāng)m=

2

2

時，y1+y2=-

4m

2m2+3

=-

2

2

，x1+x2=m(y1+y2)+2=-

1

2

+2=

3

2

；
當(dāng)m=-

2

2

時，y1+y2=-

4m

2m2+3

=

2

2

，x1+x2=m(y1+y2)+2=-

1

2

+2=

3

2

．
故C上存在點P(

3

2

，±

2

2

)使

.

OP

=

.

OA

+

.

OB

成立，
即動點P的軌跡與橢圓C存在公共點，
公共點的坐標(biāo)是(

3

2

，±

2

2

)．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生分析問題和推理能力，運算能力．