Question

已知長方體ABCD-A′B′C′D′，AB=2，AA′=1，直線BD與平面AA′B′B所成角為30°，E為A′B′的中點．
（1）求異面直線AC與BE所成的角；
（2）求A點到平面BDE的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）取C′D′在中點O，連接EO，OC，AC，則∠OCA（或其補角）為異面直線AC與BE所成的角，利用余弦定理可求；
（2）利用V_A-BDE=V_D-ABE，可求A點到平面BDE的距離．
解答：解：（1）如圖，取C′D′在中點O，連接EO，OC，AC，
∵E為A′B′的中點，
∴四邊形EOCB是平行四邊形
∴EB∥OC
∴∠OCA（或其補角）為異面直線AC與BE所成的角
∵DA⊥平面AA′B′B，直線BD與平面AA′B′B所成角為30°，
∴∠DBA=30°
∵AB=2，∴AD=，DB=
△AOC中，OC=，AC=，AO=
∴cos∠OCA=
∴∠COA=arccos；
（2）設(shè)A點到平面BDE的距離為h，則
在△BDE中，BE=，DB=，DE=
∴DB²=BE²+DE²
∴S_△BDE==
∵，V_A-BDE=V_D-ABE
∴
∴h=．
點評：本題考查異面直線所成角，考查點到面的距離的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．