Question

如圖（1），C是直徑AB=2的⊙O上一點(diǎn)，AD為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，△ACD為等邊三角形，連接DO交AC于E，以AC為折痕將△ACD翻折到圖（2）的△ACP位置，點(diǎn)P為平面ABC外的點(diǎn)．
（1）求證異面直線AC和PO互相垂直；
（2）若F為PC上一點(diǎn)，且PF=2FC，PO=，求三棱錐P-AOF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中，△ACD為等邊三角形，AD為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，我們易結(jié)合線面垂直的判定定理，得到翻折后AC⊥平面PEO，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到異面直線AC和PO互相垂直；
（2）由已知中，△ACD為等邊三角形，C是直徑AB=2的⊙O上一點(diǎn)，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，且PF=2FC，PO=，根據(jù)勾股定理，我們可得OP⊥OA，OP⊥OC，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理得到：OP⊥平面⊙O，求出三棱錐P-ABC的體積后，進(jìn)一步得到三棱錐P-AOF的體積．
解答：證明：（1）等邊三角形△ACD中AD=DC，AD為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，
∴DO⊥AC且E為AC中點(diǎn)    （2分）
以AC為折痕將△ACD翻折到圖（2）的△ACP位置時，
仍有PE⊥AC，OE⊥AC
∴AC⊥平面PEO  （4分）
∴AC⊥PO        （5分）
解：（2）∵PO=，圖（1）中∠DAC=60°，AB=2為⊙O的直徑，AD為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，
∴Rt△ACB中，AC=AD=DC=AP=PC=，BC=1
∵OA=OB=OC=BC=1    
∴OA²+OP²=AP²，OC²+OP²=PC²    （8分）
∴OP⊥OA，OP⊥OC
∴OP⊥平面⊙O    （10分）
∴三棱錐P-ABC的體積
V_P-ABC=•AB•BC•OP=   （12分）
∵F為PC上一點(diǎn)，且PF=2FC，
∴三棱錐P-AOF的體積
V_P-AOF=V_P-ABC= （14分）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是棱錐的體積及空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，熟練掌握空間直線、平面之間平行及垂直的判定、性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．