Question

已知函數(shù)y=f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）有最小值2，其中b∈N，且f（1）＜

5

2

（1）試求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）問函數(shù)f（x）圖象上是否存在關(guān)于點（1，0）對稱的兩點，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)即f（-x）=-f（x）求得c=0，進而把函數(shù)解析式整理成

a

b

x+

1

bx

的形式，根據(jù)均值不等式求得函數(shù)f（x）的最小值的表達式為a和b的關(guān)系，進而根據(jù)f（1）＜

5

2

求得b的范圍，最后求得b的值，則a的值可得．進而求得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）假設(shè)存在一點（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上，并且關(guān)于（1，0）的對稱點（2-x₀，-y₀）也在y=f（x）圖象上，則可得x₀與y₀兩個關(guān)系式進而求出得到．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即

ax2+1

bx+c

=-

ax2+1

-bx+c

⇒bx+c=bx-c，
∴c=0．
∵a＞0，b＞0，
∴當(dāng)x＞0時，有f（x）=

ax2+1

bx

=

a

b

x+

1

bx

≥2

a b2

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

1 a

時等號成立，于是2

a b2

=2，∴a=b²，
由f（1）＜

5

2

得

a+1

b

＜

5

2

即

b2+1

b

＜

5

2

，
∴2b²-5b+2＜0，解得

1

2

＜b＜2，又b∈N，
∴b=1，∴a=1，∴f（x）=x+

1

x

．
（2）假設(shè)存在一點（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上，并且關(guān)于（1，0）的對稱點（2-x₀，-y₀）也在y=f（x）圖象上，
則

x02+1 x0 =y0 (2-x0)2+1 2-x0 =-y0

，
所以消去y₀得x₀²-2x₀-1=0，解得x₀=1±

2

．
∴y=f（x）圖象上存在兩點（1+

2

，2

2

），（1-

2

，-2

2

）關(guān)于（1，0）對稱．

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，均值不等式的應(yīng)用及函數(shù)的對稱性．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．