Question

8．如圖1，在高為2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=5，過A、B分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為E、F．已知DE=1，將梯形ABCD沿AE、BF同側折起，得空間幾何體ADE-BCF，如圖2．

（1）若AF⊥BD，證明：△DEB為直角三角形；
（2）若DE∥CF，證明：BE∥平面ACD；
（3）在（1），（2）的條件下，求三棱錐B-ACD的體積．

Answer 1

分析 （1）由BE⊥AF，BD⊥AF可得AF⊥平面BDE，故而AF⊥DE，又AE⊥DE得出DE⊥平面ABFE，于是DE⊥BE；
（2）取AC的中點G，連接OG，DG，則四邊形OGDE為平行四邊形，于是DG∥BE，從而BE∥平面ACD；
（3）證明AE⊥平面EFCD，于是V_B-ACD=V_E-ACD=V_A-CDE．

解答 （1）證明：由已知得四邊形ABFE為正方形，∴AF⊥BE，
又AF⊥BD，BE∩BD=B，
∴AF⊥面BDE，又DE?平面BDE，∴AF⊥DE，
又AE⊥DE，AF∩AE=A，
∴DE⊥平面ABFE，
又BE?平面ABFE，
∴DE⊥BE，
∴△DEB為直角三角形．
（2）證明：取AC的中點G，連接OG，DG，則$OG∥\frac{1}{2}CF∥DE$，
則四邊形DEOG為平行四邊形，
∴BE∥GD，
又BE?平面ACD，GD?平面ACD，
∴BE∥平面ACD．
（3）解：∵AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF=E，
∴AE⊥平面CDE．
∴${V_{A-CDE}}=\frac{1}{3}×{S_{△CDE}}×AE=\frac{1}{3}×{S_{△DEF}}×AE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2=\frac{2}{3}$，
∴V_B-ACD=V_E-ACD=V_A-CDE=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．