Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD₁=AB=1，
P、Q分別是CC₁、C₁D₁的中點(diǎn)．點(diǎn)P到直線AD₁的距離為．
（1）求證：AC∥平面BPQ；
（2）求二面角B-PQ-D的大�。�

Answer 1

【答案】分析：先利用P到直線AD₁的距離為，計(jì)算棱AD的長，由與AD⊥DC⊥DD₁，所以以這三條棱為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，（1）先利用線面垂直的判定，求出平面BPQ的法向量，再利用向量數(shù)量積運(yùn)算證明AC垂直于平面BPQ的法向量，從而AC平行于平面BPQ，（2）先證明平面DPQ的法向量為，再結(jié)合（1），利用向量夾角公式計(jì)算兩個(gè)法向量的夾角的余弦值即可的二面角的大小
解答：解：如圖1：設(shè)AD=a，則D到直線AD₁的距離為=
取DD₁中點(diǎn)M，過M作MG⊥AD₁，連接PM，PG
則M到直線AD₁的距離MG=
∵PM∥CD，∴PM⊥平面ADD₁A₁
∴AD₁⊥PM，又MG⊥AD₁，
∴AD₁⊥平面PMG
∴PG⊥AD₁
∴PG就是點(diǎn)P到直線AD₁的距離
∴PG=
在Rt△PMG中，PM²=PG²-MG²，即4=-，
解得a=1，即AD=1
如圖2：建立空間直角坐標(biāo)系
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，2，），Q（0，1，1）
∴=（-1，1，），=（0，-1，），=（-1，2，0）
（1）證明：設(shè)平面BPQ的法向量為=（x，y，z）
則
取其法向量為=（2，1，2）
∵
∴，AC?平面BPQ
∴AC∥平面BPQ；
（2）∵AD⊥平面DPQ
∴平面DPQ的法向量為=（1，0，0）
由（1）知，平面BPQ的法向量為=（2，1，2）
∴cos＜，＞===
∴二面角B-PQ-D的大小為arccos
點(diǎn)評：本題綜合考查了點(diǎn)到直線的距離的作法、證法、求法，利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量證明線面平行、計(jì)算二面角的方法