Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最值；

（Ⅱ）試討論零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）當(dāng)或時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（Ⅰ）由題意得，求得函數(shù)的單調(diào)性后即可求出最值；

（Ⅱ）求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，由即可得解；當(dāng)時(shí)，在處取得極大值，令，根據(jù)、和分類(lèi)討論，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可得解.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

因，

故，.

（Ⅱ）因，.

當(dāng)時(shí)在上恒成立，

在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>，有唯一的零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有時(shí)，當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

在處取得極大值，即最大值，

設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，有，，在上單調(diào)遞減，

在上恒成立， 即，

即，，

又因?yàn)?/span>，

在上有一個(gè)零點(diǎn)，

又，所以此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有，，在上單調(diào)遞增，

在上恒成立， 即，

令，則，易知，

，

，

在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，所以此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有唯一的零點(diǎn)；

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).