Question

已知f(x)是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0有＞0

(1)判斷函數(shù)f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

(2)解不等式f(x＋)＜f()；

(3)若f(x)≤m²－2am＋1，對所有x∈[－1，1]a∈[－1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　證明增減性一般用定義，解帶有對應(yīng)法則“f”的不等式一般是利用單調(diào)性先脫去“f”再解． 　　解答　　(1)任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2， 　　則－x2∈[－1，1]，又f(x)是奇函數(shù)，于是f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2)． 　　據(jù)已知＞0， 　　x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0， 　　即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)． 　　(2)據(jù)函數(shù)f(x)是定義在[－1，1]上的增函數(shù)，不等式f(x＋)＜f()等價于不等式組 　　 　　∴原不等式的解集為{x|－≤x＜－1，x∈R} 　　(3)由(1)的結(jié)論f(x)是[－1，1]上的增函數(shù)，且f(1)＝1，故對所有的x∈[－1，1]有f(x)≤1．據(jù)已知，對所有的x∈[－1，1]，a∈[－1，1]，f(x)≤m2－2am＋1恒成立，應(yīng)有m2－2am＋1≥1．即m2－2am≥0．記g(a)＝－2am＋m2，對所有的a∈[－1，1]，g(a)≥0成立，只需g(a)在[－1，1]上的最小值大于等于零．故當－2m＞0，即m＜0時，g(a)為增函數(shù)，g(a)min＝g(－1)＝2m＋m2≥0，∴m≥0(舍)，m≤－2． 　　當－2m＝0即m＝0時，g(a)＝0適合題意 　　當－2m＜0即m＞0時，g(a)min＝g(1)＝－2m＋m2≥0 　　∴m≥2或m≤0(舍) 　　綜上討論，m的取值為m≥2或m＝0或m≤－2． 　　評析　　本題是一個函數(shù)與不等式的綜合題目，考查抽象函數(shù)的一般解題方法及分類討論的思想．