Question

直線l過點(diǎn)M（1，1），與橢圓+=1交于P，Q兩點(diǎn)，已知線段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求直線l的方程．

Answer 1

解：易知直線l存在斜率，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)為（，y₀），則x₁+x₂=1，y₁+y₂=2y₀，
把P、Q坐標(biāo)代入橢圓方程，得①，，
①-②得，，即=-=-，
又=，
所以=-，解得，，
則直線斜率k=-=1±，
所以直線l方程為：y-1=（1+）（x-1）或y-1=（1-）（x-1），即y=（1+）（x-1）+1或y=（1-）（x-1）+1．
分析：平方差法：易判斷直線存在斜率，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)為（，y₀），把P、Q坐標(biāo)代入橢圓方程兩式相減，利用斜率公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用y₀表示出直線斜率，再用M點(diǎn)坐標(biāo)及中點(diǎn)的坐標(biāo)可表示出斜率，從而得到關(guān)于y₀的方程，解出y₀后即可求得斜率，用點(diǎn)斜式即可求得直線方程．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬中檔題，凡涉及弦中點(diǎn)問題可用平方差法解決．