Question

（2013•寶山區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=x²+a．
（1）若F(x)=f(x)+

2

bx+1

是偶函數(shù)，在定義域上F（x）≥ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時，令g（x）=f（f（x））-λf（x），問是否存在實數(shù)λ，使g（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，在（-1，0）上是增函數(shù)？如果存在，求出λ的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)f（x）的解析式代入函數(shù)F（x）利用函數(shù)是偶函數(shù)求出b=0，把b=0代回函數(shù)F（x）的解析式，由F（x）≥ax恒成立分離出參數(shù)a，然后利用基本不等式求最值，則a的范圍可求；
（2）把a(bǔ)=1代入函數(shù)f（x）的解析式，求出函數(shù)g（x）解析式，由偶函數(shù)的定義得到函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)，把函數(shù)g（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，在（-1，0）上是增函數(shù)轉(zhuǎn)化為在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)，換元后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到換元后的二次函數(shù)的對稱軸，由對稱軸可求λ的值．

解答：解：（1）F(x)=f(x)+

2

bx+1

=x2+a+

2

bx+1

．
由F（x）是偶函數(shù)，∴F（-x）=F（x），即(-x)2+a+

2

-bx+1

=x2+a+

2

bx+1

∴-bx+1=bx+1，∴b=0．
即F（x）=x²+a+2，x∈R．
又F（x）≥ax恒成立，即x²+a+2≥ax恒成立，也就是a（x-1）≤x²+2恒成立．
當(dāng)x=1時，a∈R
當(dāng)x＞1時，a（x-1）≤x²+2化為a≤

x2+2

x-1

=(x-1)+

3

x-1

+2，
而(x-1)+

3

x-1

+2≥2

(x-1)• 3 x-1

+2=2

3

+2，∴a≤2

3

+2．
當(dāng)x＜1時，a（x-1）≤x²+2化為a≥

x2+2

x-1

=(x-1)+

3

x-1

+2，
而(x-1)+

3

x-1

+2=-[(1-x)+

3

1-x

]+2≤-2

(1-x)• 3 1-x

+2=2-2

3

，∴a≥-2

3

+2
綜上：-2

3

+2≤a≤2

3

+2；
（2）存在實數(shù)λ=4，使g（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，在（-1，0）上是增函數(shù)．
事實上，當(dāng)a=1時，f（x）=x²+1．
g（x）=f（f（x））-λf（x）=（x²+1）²+1-λ（x²+1）=x⁴+（2-λ）x²+（2-λ）．
∵g（-x）=（-x）⁴+（2-λ）（-x）²+（2-λ）=g（x）
∴g（x）是偶函數(shù)，要使g（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，在（-1，0）上是增函數(shù)，
即g（x）只要滿足在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)即可．
令t=x²，當(dāng)x∈（0，1）時t∈（0，1）；x∈（1，+∞）時t∈（1，+∞），
由于x∈（0，+∞）時，t=x²是增函數(shù)，記g（x）=H（t）=t²+（2-λ）t+（2-λ），
故g（x）與H（t）在區(qū)間（0，+∞）上有相同的增減性，
當(dāng)二次函數(shù)H（t）=t²+（2-λ）t+（2-λ）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)時，
其對稱軸方程為t=1，
∴-

2-λ

2

=1，解得λ=4．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了分離變量及利用基本不等式求參數(shù)的取值范圍，考查了二次函數(shù)的單調(diào)性．屬難題．