Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，其焦點在圓x²+y²=1上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設A，B，M是橢圓上的三點（異于橢圓頂點），且存在銳角θ，使

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

．
（i）求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；
（ii）求OA²+OB²．

Answer 1

（1）依題意，得  c=1．于是，a=

2

，b=1．     …（2分）
所以所求橢圓的方程為

x2

2

+y2=1． …（4分）
（2）（i）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x 21

2

+

y

21

=1①，

x 22

2

+

y

22

=1②．
又設M（x，y），因

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

，故

x=x1cosθ+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ.

…（7分）
因M在橢圓上，故

(x1cosθ+x2sinθ)2

2

+(y1cosθ+y2sinθ)2=1．
整理得(

x 21

2

+

y

21

)cos2θ+(

x 22

2

+

y

22

)sin2θ+2(

x1x2

2

+y1y2)cosθsinθ=1．
將①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得  

x1x2

2

+y1y2=0．
所以，kOAkOB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

為定值． …（10分）
（ii）(y1y2)2=(-

x1x2

2

)2=

x 21

2

•

x 22

2

=(1-

y

21

)(1-

y

22

)=1-(

y

21

+

y

22

)+

y

21

y

22

，故y₁²+y₂²=1．
又(

x 21

2

+

y

21

)+(

x 22

2

+

y

22

)=2，故x₁²+x₂²=2．
所以，OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=3．  …（16分）