Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=2．
（1）若點E、F分別在棱PB、AD上，且=4，=4，求證：EF⊥平面PBC；
（2）若點G在線段PA上，且三棱錐G-PBC的體積為，試求線段PG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，求出向量EF和向量BC及PB，利用數量積即可證明EF⊥平面PBC；
（2）求出平面的法向量，利用共線向量求出點到平面的距離的表達式，由三棱錐G-PBC的體積為，求線段PG的長．
解答：解：（1）以點D為坐標原點，DA為x軸正方向，
DC為y軸正方向建立空間直角坐標系．
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，2），
因為，，
所以F，E，
則，，．
，，
即EF垂直于平面PBC中兩條相交直線，所以EF⊥平面PBC．
法二（1），可設，
所以向量的坐標為（λ，0，-2λ），
平面PBC的法向量為．
，
即EF垂直于平面PBC中兩條相交直線，所以EF⊥平面PBC．
（2），可設，
所以向量的坐標為（λ，0，-2λ），
平面PBC的法向量為．
點G到平面PCE的距離d===．
△PBC中，BC=1，PB=，PB=，
所以．
三棱錐G-PBC的體積V==，
∴．
此時向量的坐標為，，
即線段PG的長為．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．