Question

（本小題滿分13分） 已知雙曲線的兩個焦點為的曲線C上.

  （Ⅰ）求雙曲線C的方程；

  （Ⅱ）記O為坐標(biāo)原點，過點Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程

Answer 1

(Ⅰ) 雙曲線方程為(Ⅱ) 滿足條件的直線l有兩條，基方程分別為y=和y=

解析:

(Ⅰ)解法1：依題意，由a²+b²=4，得雙曲線方程為（0＜a²＜4＝，

將點（3，）代入上式，得.解得a²=18（舍去）或a²＝2，

故所求雙曲線方程為

解法2：依題意得，雙曲線的半焦距c=2.

2a=|PF₁|－|PF₂|=

∴a²=2，b²=c²－a²=2.

∴雙曲線C的方程為

(Ⅱ)解法1：依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6=0.

∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,

∴

∴k∈(－)∪(1,).

設(shè)E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，則由①式得x₁+x₂=于是

|EF|=

=

而原點O到直線l的距離d＝,

∴S_ΔOEF=

若S_ΔOEF＝，即解得k=±,

滿足②.故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和

解法2：依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6＝0.                                  ①

∵直線l與比曲線C相交于不同的兩點E、F，

∴

∴k∈(－)∪(1,).                              ②

設(shè)E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，則由①式得

|x₁－x₂|＝.    ③

當(dāng)E、F在同一支上時（如圖1所示），

S_ΔOEF＝|S_ΔOQF－S_ΔOQE|=；

當(dāng)E、F在不同支上時（如圖2所示），

S_ΔOEF＝S_ΔOQF＋S_ΔOQE＝

綜上得S_ΔOEF＝，于是

由|OQ|＝2及③式，得S_ΔOEF＝.

若S_ΔOEF＝2，即,解得k=±,滿足②.

故滿足條件的直線l有兩條，基方程分別為y=和y=