【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在區(qū)間上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
(1)在區(qū)間上恒成立等價(jià)于當(dāng)時(shí),恒成立,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性求出最大值即可得解;(2)求出導(dǎo)數(shù),則在區(qū)間上有兩個(gè)不同零點(diǎn),根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出不等式組求a的取值范圍,取,,判斷函數(shù)單調(diào)性驗(yàn)證,分別為極大值與極小值即可;(3)題意等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),分析函數(shù)單調(diào)性知,再根據(jù)為函數(shù)的極值點(diǎn)即可代入不等式求出的范圍從而求出a的范圍,再驗(yàn)證函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn).
(1)
即當(dāng)時(shí),恒成立,
設(shè)
,
因?yàn)?/span>,所以,在上單調(diào)遞增,
所以,所以,.
(2)因?yàn)?/span>,
所以在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)的必要條件為
在區(qū)間上有兩個(gè)不同零點(diǎn),
則,
當(dāng)時(shí),在上遞減,在上遞增
,,
所以存在唯一的,使得,
因?yàn)?/span>在區(qū)間大于零,在區(qū)間小于零,在區(qū)間上大于零,
所以在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減,在上遞增,
所以,分別為極大值與極小值,
所以當(dāng)時(shí)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn);
(3)因?yàn)?/span>
所以,
令,,
令,解得(舍去),.
0 | + | ||
↓ | 極小值 | ↑ |
因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn),
所以,①
又因?yàn)?/span>,所以②
代入①得到,
令,
所以在上遞減,因?yàn)?/span>,所以,
因?yàn)?/span>在區(qū)間上遞增,所以.
i)因?yàn)?/span>,所以,
,
令,,
所以
所以在上遞增,,所以
所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn).
ⅱ)又因?yàn)?/span>
,
且,
所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn),
綜上時(shí),的圖像與圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
解法二:由
得
令,
令,.
,所以當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
所以在區(qū)間上遞減,在區(qū)間上遞增,
所以即,
i)當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>
所以
取,則
所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn),
ii)當(dāng)時(shí),
令,
因?yàn)?/span>,,
所以,所以在上遞增,
,所以,即
所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn),
綜上時(shí),的圖像與圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
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C.在回歸直線方程中,當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量平均減少0.5個(gè)單位
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