Question

已知f(x)=

x2

ax+b

，且方程f（x）-x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x₁=3，x₂=4（這里a、b為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；  
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）解析式得方程，把方程的解代入得關(guān)于a，b的方程組，求出a，b即可．
（2）由（1）得f（x）解析式，用分離系數(shù)法把式子進(jìn)行整理，再用均值不等式求式子的范圍，分成兩類得到兩個(gè)范圍，取并集．

解答：解：（1）依已知條件可知方程f（x）-x+12=0即為

x2

ax+b

-x+12=0，因?yàn)閤₁=3，x₂=4是上述方程的解，
所以　　

9 3a+b -3+12=0 16 4a+b -4+12=0

，解得

a=-1 b=2

，
所以函數(shù)的解析式為f(x)=-

x2

x-2

（2）因?yàn)?span id="gn7gsae" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(x)=-

x2

x-2

=-[(x-2)+

4

x-2

+4]，
當(dāng)x＞2時(shí)，(x-2)+

4

x-2

≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)取等號(hào)，所以y≤-8
當(dāng)x＜2時(shí)，(x-2)+

4

x-2

≤-4，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，所以y≥0
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，-8]∪[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是一種常用的，重要的方法，是基本技能，傎域就是由自變量的范圍得到整個(gè)式子的范圍，利用均值不等式時(shí)，應(yīng)注意一定二正三相等．