Question

4．已知二項(xiàng)式（x²+$\frac{1}{{2\sqrt{x}}}$）ⁿ（n∈N^*）展開式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)的和是56，求：
（1）求n的值；
（2）展開式中的第七項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由二項(xiàng)式（x²+$\frac{1}{{2\sqrt{x}}}$）ⁿ展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)和列出方程求出n的值；
（2）根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果．

解答 解：（1）由二項(xiàng)式（x²+$\frac{1}{{2\sqrt{x}}}$）ⁿ展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)和是56，
即$C_n^0+C_n^1+C_n^2=56$，
∴1+n+$\frac{1}{2}$n（n-1）=56，
化簡得n²+n-110=0，
解得n=10或n=-11（舍去），
n的值是10；…（6分）
（2）由二項(xiàng)式（x²+$\frac{1}{{2\sqrt{x}}}$）¹⁰展開式的第七項(xiàng)為
${T_7}={T_{6+1}}=C_{10}^6{（{x^2}）^4}{（\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^6}=\frac{105}{32}{x^5}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．