Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5．
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間（-

2

3

，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求正整數(shù)a，使得f（x）在區(qū)間（-3，

1

6

）上為單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）在（-

2

3

，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，可得x=1是方程f′（x）=0的根，從而可求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）使得f（x）在區(qū)間（-3，

1

6

）上為單調(diào)函數(shù)，只需f′（-3）≤0，且f′（

1

6

）≤0，結(jié)合a是正整數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+2ax-2
由函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5在區(qū)間（-

2

3

，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增
可得f′（1）=0即2a+1=0
∴a=-

1

2

；
（Ⅱ）令f′（x）=3x²+2ax-2=0，可得x1=

-a- a2+6

3

，x2=

-a+ a2+6

3

．
當(dāng)a是正整數(shù)時，x₁＜0＜x₂．
使得f（x）在區(qū)間（-3，

1

6

）上為單調(diào)函數(shù)，只需f′（-3）≤0，且f′（

1

6

）≤0，
即25-6a≤0，且

1

3

a-

23

12

≤0，所以

25

6

≤a≤

23

4

由已知a為正整數(shù)，得a=5．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．