Question

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ） 證明：AB⊥平面VAD；
（Ⅱ）求二面角A-VD-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由平面VAD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，又AB在平面ABCD內(nèi)，AD⊥AB，即可證明AB⊥平面VAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥AB，AB⊥AV．依題意設(shè)AB=AD=AV=1，可求BV=BD=

2

．設(shè)VD的中點(diǎn)為E，連結(jié)AE、BE，則AE⊥VD，BE⊥VD，可得∠AEB是面VDA與面VDB所成二面角的平面角．又AE=

3

2

，BE=

7

2

，從而可求cos∠AEB的值．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)槠矫鎂AD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，
又AB在平面ABCD內(nèi)，AD⊥AB，
所以AB⊥平面VAD．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥AB，AB⊥AV．依題意設(shè)AB=AD=AV=1，
所以BV=BD=

2

．…（6分）
設(shè)VD的中點(diǎn)為E，連結(jié)AE、BE，則AE⊥VD，BE⊥VD，
所以∠AEB是面VDA與面VDB所成二面角的平面角．…（9分）
又AE=

3

2

，BE=

7

2

，
所以cos∠AEB=

3 4 + 7 4 -1

2× 3 2 × 7 2

=

21

7

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，二面角的余弦值的求法，正確作出并證明二面角的平面角是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．