Question

已知以點(diǎn)C （t，

2

t

）（t∈R），t≠0）為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求證：△OAB的面積為定值．
（2）設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M，N若|OM|=|ON|，求圓C的方程．
（3）若t＞0，當(dāng)圓C的半徑最小且時(shí)，圓C上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：y-

2

=k(x-3-

2

)的距離為

1

2

，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閳AC過(guò)原點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出出O到C的距離即為圓的半徑，然后根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)，寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，令x=0，解出相應(yīng)y的值，令y=0解出相應(yīng)x的值，進(jìn)而表示出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式表示出三角形AOB的面積，約分后得到面積為定值，得證；
（2）根據(jù)圓上的點(diǎn)到圓心的距離相等得到|CM|=|CN|，又因?yàn)閨OM|=|ON|，得到OC垂直平分線段MN，由已知直線的斜率，利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，求出直線OC的斜率，然后利用C的坐標(biāo)表示出斜率，兩者相等得到關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，然后把求出的t的值代入點(diǎn)C的坐標(biāo)中確定出圓心的坐標(biāo)和圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式判斷圓心到已知直線的距離小于半徑即已知直線與圓相交，把不符合題意的t舍去，得到滿足題意的t的值，進(jìn)而得到圓C的方程；
（3）根據(jù)圓C的方程找出圓的半徑，然后利用基本不等式求出半徑的最小值以及半徑最小時(shí)t的值，把求出的t的值代入即可確定出圓心C的坐標(biāo)和圓的半徑，寫出此時(shí)圓C的方程，根據(jù)題中要求的圓C上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：y

2

=k(x-3-

2

)的距離為

1

2

，即圓心到直線的距離要小于等于2-

1

2

，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范圍．

解答：解：（1）∵圓C過(guò)原點(diǎn)O，∴OC²=t²+

4

t2

，
則圓C的方程為（x-t）²+（y-

2

t

）²=t²+

4

t2

，
令x=0，得y₁=0，y₂=

4

t

；令y=0得x₁=0，x₂=2t，
即A（2t，0），B（0，

4

t

），
∴S_△OAB=

1

2

OA×OB=

1

2

|

4

t

|×|2t|=4．
即△OAB的面積為定值；
（2）∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|，∴OC垂直平分線段MN．
∵K_MN=-2，∴K_OC=

1

2

，
∴

2

t

=

1

2

t，解得t=2或t=-2．
當(dāng)t=2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為（2，1）半徑OC=

5

，此時(shí)圓心到直線y=-2x+4的距離d=

1

5

＜

5

，
即圓C與直線y=-2x+4相交于兩點(diǎn)．
當(dāng)t=-2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為（-2，-1）半徑OC=

5

此時(shí)圓心到直線y=-2x+4的距離d=

9

5

＞

5

，即圓C與直線y=-2x+4不相交，
∴t=-2不合題意，舍去．
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5；
（3）半徑OC=

t2+ 4 t2

≥

4

=2．當(dāng)且僅當(dāng)t=±

2

時(shí)取等號(hào)，
∵t＞0，∴t=

2

．
此時(shí)圓心坐標(biāo)為C（

2

，  

2

），半徑為2．
若圓C上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：y-

2

=k（x-3-

2

）的距離為

1

2

．
則圓心C到直線的距離d≤

3

2

．
即：

|3k|

1+k2

≤

3

2

所以-

3

3

≤k≤

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最值，掌握直線與圓的位置關(guān)系，是一道多知識(shí)的綜合題．