Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

＞

13

24

的過(guò)程中，由n=k推導(dǎo)n=k+1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是

1

(k+1)+k

+

1

(k+1)+(k+1)

-

1

k+1

．

Answer 1

分析：準(zhǔn)確寫(xiě)出當(dāng)n=k時(shí)，左邊的代數(shù)式，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊的代數(shù)式，相減可得結(jié)果．注意分母及項(xiàng)數(shù)的變化．

解答：解：當(dāng)n=k時(shí)，左邊的代數(shù)式為

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

k+k

，（共k項(xiàng)）
當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊的代數(shù)式為

1

k+1+1

+

1

k+1+2

+…+

1

k+1+k

+

1

k+1+(k+1)

（共k+1項(xiàng)）
故用n=k+1時(shí)左邊的代數(shù)式減去n=k時(shí)左邊的代數(shù)式的結(jié)果，

1

(k+1)+k

+

1

(k+1)+(k+1)

-

1

k+1

即為不等式的左邊增加的項(xiàng)．
故答案為：

1

(k+1)+k

+

1

(k+1)+(k+1)

-

1

k+1

．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若（1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．