Question

如圖，直線l₁和l₂相交于點M，l₁⊥l₂，點N∈l₁，以AB為端點的曲線C上任一點到l₂的距離與到點N的距離相等．又知△AMN為銳角三角形，|AM|＝，|AN|＝3，且|BN|＝6，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求曲線段C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解析：方法一：建立坐標(biāo)系，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標(biāo)原點． 　　依題意知曲線段C是以點N為焦點，以l2為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A、B分別為C的端點． 　　設(shè)曲線段C的方程為y2＝2px(p＞0)(xA≤x≤xB，y＞0)，其中xA、xB分別為A、B的橫坐標(biāo)，p＝|MN|． 　　所以M(，0)，N(，0)． 　　由|AM|＝，|AN|＝3得 　　(xA＋)2＋2pxA＝17，�、� 　　(xA＋)2－2pxA＝9，�、� 　　由①②兩式聯(lián)立解得xA＝，再將其代入①式并由p＞0，解得或 　　因為△AMN是銳角三角形，所以＞xA， 　　故舍去 　　所以p＝4，xA＝1． 　　由點B在曲線段C上，得xB＝|BN|＝4． 　　綜上，得曲線段C的方程為y2＝8x(1≤x≤4，y＞0)． 　　方法二：如圖，建立坐標(biāo)系，分別以l1、l2為x、y軸，M為坐標(biāo)原點．作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分別為E、D、F． 　　設(shè)A(xA，yA)、B(xB，yB)、N(xN，0) 　　依題意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3， 　　yA＝|DM|＝． 　　由于△AMN為銳角三角形，故有 　　xN＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋＝4，xB＝|BF|＝|BN|＝6． 　　設(shè)點P(x，y)是曲線段C上任一點，則由題意知P屬于集合{(x，y)|(x－xN)2＋y2＝x2，xA≤x≤xB，y＞0}． 　　故曲線段C的方程為y2＝8(x－2)(3≤x≤6，y＞0)．