Question

17．如圖示：半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA=2，B為半圓上任意一
點，以AB為一邊作等邊三角形ABC．則四邊形OACB的面積最大值是2+$\frac{5}{4}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)∠AOB=α，利用余弦定理求出AB²，再求四邊形OACB的面積S的解析式，根據(jù)α的取值范圍求出S的最大值即可．

解答 解：設(shè)∠AOB=α，在△AOB中，由余弦定理得：
AB²=1²+2²-2×1×2cosα=5-4cosα，
所以四邊形OACB的面積為：
S=S_△AOB+S_△ABC
=$\frac{1}{2}$OA•OBsinα+$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²
=$\frac{1}{2}$×2×1×sinα+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosα）
=sinα-$\sqrt{3}$cosα+$\frac{5}{4}$$\sqrt{3}$
=2sin（α-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5}{4}$$\sqrt{3}$，
∵0＜α＜π，
∴當(dāng)α-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解得α=$\frac{5}{6}$π，
即∠AOB=$\frac{5π}{6}$時，四邊形OACB面積取得最大值，最大為2+$\frac{5}{4}$$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了余弦定理以及三角函數(shù)的化簡和求最大值問題，是基礎(chǔ)題目．