Question

在等比數(shù)列{a_n}中，已知S3=

7

2

，S6=

63

2

．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n
（2）若設(shè)bn=

n

8an

，且記T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，試求T₉₉的值．

Answer 1

分析：（1）易知q≠1，由題意列方程組可求得公比q及首項(xiàng)a₁，可求a_n；
（2）求出b_n，然后利用錯(cuò)位相減法求得T_n，從而可得T₉₉；

解答：解：（1）若q=1，則S₆=2S₃，不合題意，故q≠1；
由題意

S3= a1(1-q3) 1-q = 7 2 S6= a1(1-q6) 1-q = 63 2

，解得

q=2 a1= 1 2

，
∴an=2n-2n∈N^*；
（2）bn=

n

2n+1

=n•(

1

2

)n+1，
則Tn=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+n×(

1

2

)n+1，

1

2

Tn=1×(

1

2

)3+2×(

1

2

)4+3×(

1

2

)5+…+n×(

1

2

)n+2，
相減得：

1

2

Tn=1×(

1

2

)2+1×(

1

2

)3+1×(

1

2

)4+…+1×(

1

2

)n+1-n×(

1

2

)n+2，
∴

1

2

Tn=

( 1 2 )2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n×(

1

2

)n+2，Tn=1-

n+2

2n+1

，
∴T99=1-

101

2100

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和，錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．