Question

設(shè)函數(shù)f(α)=sinα+

3

cosα，其中，角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x，y），且0≤α≤π
（I）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-

3

，1)，求f（α）的值；
（II）若點(diǎn)P（x，y）為平面區(qū)域

x+y≥1 y≥x y≤1

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角α的取值范圍，并求函數(shù)f（α）的值域．

Answer 1

分析：（I）由三角函數(shù)的定義，算出sinα、cosα的值，即可求出f（α）的值；
（II）作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，將點(diǎn)P在區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)可得α∈[

π

4

，

π

2

]．根據(jù)輔助角公式，化簡(jiǎn)得f（α）=2sin(α+

π

3

)，再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計(jì)算，即可得到函數(shù)f（α）的值域．

解答：解：（I）∵P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-

3

，1)，
∴|OP|=

3+1

=2，得sinα=

1

2

，cosα=

- 3

2

=-

3

2

因此，f(α)=sinα+

3

cosα=

1

2

+

3

•(-

3

2

)=-1；
（II）作出不等式

x+y≥1 y≥x y≤1

表示的平面區(qū)域，
得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部．
其中A（0，1），B（

1

2

，

1

2

），C（1，1）．
∵點(diǎn)P（x，y）為平面區(qū)域內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴α∈[

π

4

，

π

2

]．
f(α)=sinα+

3

cosα=2sin(α+

π

3

)，
∵α+

π

3

∈[

7π

12

，

5π

6

]，
∴當(dāng)α=

π

4

時(shí)，f（α）=2sin

7π

12

=

2 + 6

2

達(dá)到最大值；當(dāng)α=

π

2

時(shí)，f（α）=2sin

5π

6

=1達(dá)到最小值．
由此可得函數(shù)f（α）的值域?yàn)閇1，

2 + 6

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出點(diǎn)P是角α終邊上一點(diǎn)，求f(α)=sinα+

3

cosα的值域．著重考查了三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)值域求法等知識(shí)，屬于中檔題．