Question

已知函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，函數(shù)F（x）=f（x²-4）+f（4-x²）給出以下四個(gè)命題：（1）F（0）=0（2）F′（±2）=0（3）F′（0）=0（4）F′（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中正確的命題序號(hào)有________．

Answer 1

解：F（0）=f（-4）+f（4），無(wú)法算出結(jié)果，故無(wú)法判斷F（0）=0是否成立，（1）不正確；
∵F′（x）=2xf′（x²-4）-2xf′（4-x²），∴F′（2）=4f′（0）-4f′（0）=0，F(xiàn)′（-2）=-4f′（0）+4f′（0）=0，
故（2）正確；
F′（0）=0•f′（-4）-0•f′（4）=0，故（3）正確；
∵F′（-x）=-2xf′（x²-4）+2xf′（4-x²）=-[2xf′（x²-4）-2xf′（4-x²）]=-F′（x），
∴F′（x）為奇函數(shù)，故F′（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，（4）正確；
故答案為：（2）（3）（4）．
分析：F（0）=f（-4）=f（4）≠0，故（1）錯(cuò)誤；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求出F′（x），易求F′（±2）=0，F(xiàn)′（0）=0，從而可判斷（2）（3）的正確性；根據(jù)奇函數(shù)定義可判斷F′（x）為奇函數(shù)，由此可判斷（4）的正確性．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及抽象函數(shù)，考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．