Question

已知平面向量=，=，
（1）證明：⊥；
（2）若存在不同時為零的實數(shù)k和g，使=+（g²-3），=-k+g，且⊥，試求函數(shù)關(guān)系式k=f（g）；
（3）椐（2）的結(jié)論，討論關(guān)于g的方程f（g）-k=0的解的情況．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證，只需證明兩個向量的數(shù)量積等于0即可，用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算計算．
（2）因為，所以=0，就可得到含k，g的式子，把k用g表示，化簡即為函數(shù)k=f（g）的關(guān)系式．
（3）由（2）得，=0，所以要判斷方程的解的情況，即判斷曲線與直線y=k的交
點個數(shù)的情況，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（g）的極值，由函數(shù)的極值畫出函數(shù)的大致圖象，通過圖象討論，曲線與直線y=k的交點個數(shù)，即得關(guān)于g的方程f（g）-k=0的解的情況．
解答：解：（1）∵，∴．
（2）∵，∴=0，即（+（g²-3））•（-k+g）=0．
整理得：-k²+[g-k（g²-3）]•+g（g²-3）•²=0．
∵=0，²=4，²=1，∴上式化為-4k+g（g²-3）=0⇒
（3）討論方程=k的解的情況，可以看作曲線與直線y=k的交
點個數(shù).，令f'（g）═0，解得g₁=1，g₂=-1，當(dāng)g變化時，f'（g）、f（g）
的變化情況如下表：

當(dāng)g=-1時，f（g）有極大值，當(dāng)g=1時，f（g）有極小值，
而時，得：，0，，
可得：f（g）的大致圖象（如右圖）．
于是當(dāng)或時，直線與曲線有且僅有一個交點，則方程有一解：
當(dāng)或時，直線與曲線有兩個交點，則方程有兩解；
 當(dāng)k=0時，直線與曲線有三個交點，但k、g不同時為零，故此時也有二解； 
當(dāng)?或時，直線與曲線有三個交點，則方程有三個解．
點評：本題主要考查了向量垂直的充要條件的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，借助極值判斷方程解的個數(shù)，屬于綜合題．