Question

方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根的充要條件是

a≤

9

4

．

Answer 1

分析：先將已知方程等價(jià)變形，得到x大于0且有方程a=-

x2

9

+x成立，討論右邊的二次函數(shù)最值，得到-

x2

9

+x≤

9

4

，從而得到充要條件為a≤

9

4

．再進(jìn)行正反論證，說(shuō)明充分性和必要性都成立．

解答：解：方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）等價(jià)于lg（x-a）=lg(

x

3

) 2
即：

x＞0 x-a＞0 x-a=( x 3 ) 2

⇒

x＞0 x＞a a=- x2 9 +x

…（*）
而F（x）=-

x2

9

+x在（0，+∞）的最大值為F（

9

2

）=

9

4

∴F（x）的值域?yàn)椋?∞，

9

4

]
接下來(lái)討論充分性和必要性
①充分性：若方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，說(shuō)明（*）式至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解
∴a應(yīng)該落在F（x）=-

x2

9

+x在（0，+∞）的值域范圍內(nèi)，可得a≤

9

4

②必要性：若a≤

9

4

，說(shuō)明a∈（-∞，

9

4

]，落在F（x）=-

x2

9

+x在（0，+∞）的值域范圍內(nèi)，
∴（*）式至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，從而方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
綜上所述，方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根的充要條件是a≤

9

4

故答案為：a≤

9

4

點(diǎn)評(píng)：本題以含有對(duì)數(shù)的方程為載體，考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷和根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．