Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-

π

3

，0）．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）]²-2，求函數(shù)g（x）的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-

π

3

，0)，可得sin(-

π

3

)+acos(-

π

3

)=0，由此求得a的值．
（2）由（1）得f(x)=sinx+

3

cosx，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)g（x）=[f（x）]²-2的解析式為2sin(2x+

π

6

)，可得函數(shù)的最小正周期．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-

π

3

，0)，∴f(-

π

3

)=0，
即sin(-

π

3

)+acos(-

π

3

)=0，即-

3

2

+

a

2

=0，解得a=

3

．
（2）由（1）得f(x)=sinx+

3

cosx．
∴g（x）=[f（x）]²-2=(sinx+

3

cosx)2-2=sin2x+2

3

sinxcosx+3cos2x-2=

3

sin2x+cos2x 
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)=2(sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

)=2sin(2x+

π

6

)．
∴函數(shù)的最小正周期為

2π

2

=π．
∵函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)圖象的周期性、單調(diào)性、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角函數(shù)倍角公式等等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．