Question

（本小題滿分12分）
已知函數f（x）=。
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；
（3）判斷函數f（x）在定義域上的單調性，并用定義證明。

Answer 1

（1）x∈（－1，1）
（2）函數f（x）是奇函數。
（3）函數f（x）= 在（－1，1）上是增函數.

試題分析：解：（1）由>0，解得－1<x<1，所以f（x）的定義域是（－1，1）   3分
證明：（2）由（1）知x∈（－1，1）
又因為f（－x）= ===－=－f（x）.
所以函數f（x）是奇函數。                                6分
（3）設－1<x<x<1，
f（x）－f（x）=－=
因為1－x>1－x>0；1+ x>1+ x>0，
所以>1.  所以>0.
所以函數f（x）= 在（－1，1）上是增函數.  
點評：解決的關鍵是利用奇偶性定義和單調性的定義來證明函數的性質，屬于基礎題。