Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒為0．
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）試判斷f（x）的奇偶性，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒為0，可對(duì)x、y進(jìn)行賦值，令x=y=1，求出f（1）的值，令x=y=-1，求出f（-1）的值；
（2）根據(jù)f（-1）=0，令令y=-1，可得到f（-x）與f（x）的關(guān)系，根據(jù)奇偶性的定義可進(jìn)行判定．
解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
令x=y=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1）
∴f（-1）=0
（2）令y=-1，由f（xy）=f（x）+f（y），得f（-x）=f（x）+f（-1）
又f（-1）=0
∴f（-x）=f（x）
又∵f（x）不恒為0
∴f（x）為偶函數(shù)
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．