Question

已知n次多項(xiàng)式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an．如果在一種算法中，計(jì)算

x

k 0

(k=2，3，4，…，n)的值需要k-1次乘法，計(jì)算P₃（x₀）的值至多需要9次運(yùn)算（6次乘法，3次加法），那么計(jì)算P₁₀（x₀）的值至多需要

65

次運(yùn)算．下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：P₀（x）=a₀，P_k+1（x）=xP_k（x）+a_k+1（k=0，1，2，…，n-1）．利用該算法，計(jì)算P₃（x₀）的值至多需要6次運(yùn)算，計(jì)算P₁₀（x₀）的值至多需要

20

次運(yùn)算．

Answer 1

分析：根據(jù)常規(guī)運(yùn)算的算法規(guī)則，和秦九韶算法的算法規(guī)則，我們不難得到結(jié)論．

解答：解：在利用常規(guī)算法計(jì)算多項(xiàng)式P_n（x）=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n的值時，
算a₀xⁿ項(xiàng)需要n乘法，則在計(jì)算時共需要乘法：n+（n-1）+（n-2）+…+2+1=

n(n+1)

2

次
需要加法：n次，則計(jì)算P_n（x₀）的值共需要

1

2

n（n+3）次運(yùn)算．
故計(jì)算P₁₀（x₀）的值共需要65次運(yùn)算．
在使用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式P_n（x）=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n的值時，
共需要乘法：n次
需要加法：n次，則計(jì)算P_n（x₀）的值共需要2n次運(yùn)算．
故計(jì)算P₁₀（x₀）的值至多需要20次運(yùn)算．
故答案為：65；20

點(diǎn)評：這是一道新運(yùn)算類的題目，其特點(diǎn)一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據(jù)新運(yùn)算的定義，將已知中的數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算，易得最終結(jié)果．