Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

2

，AB=BC=2，O是底面對角線的交點．
（Ⅰ）求證：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求證：A₁O⊥平面BC₁D；
（Ⅲ）求三棱錐A₁-DBC₁的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根據(jù)B₁D₁∥BD，以及B₁D₁在平面BC₁D外，即可得到結論；
（Ⅱ）先根據(jù)條件得到BD⊥平面ACC₁A₁⇒A₁O⊥BD；再通過求先線段的長度推出A₁O⊥OC₁，即可證明A₁O⊥平面BC₁D；
（Ⅲ）結合上面的結論，直接代入體積計算公式即可．

解答：解：（Ⅰ） 證明：依題意：B₁D₁∥BD，且B₁D₁在平面BC₁D外．（2分）
∴B₁D₁∥平面BC₁D（3分）
（Ⅱ） 證明：連接OC₁
∵BD⊥AC，AA₁⊥BD
∴BD⊥平面ACC₁A₁（4分）
又∵O在AC上，∴A₁O在平面ACC₁A₁上
∴A₁O⊥BD（5分）
∵AB=BC=2∴AC=A1C1=2

2

∴OA=

2

∴Rt△AA₁O中，A1O=

AA12+OA2

=2（6分）
同理：OC₁=2
∵△A₁OC₁中，A₁O²+OC₁²=A₁C₁²
∴A₁O⊥OC₁（7分）
∴A₁O⊥平面BC₁D（8分）
（Ⅲ）解：∵A₁O⊥平面BC₁D
∴所求體積V=

1

3

•A1O•

1

2

•BD•OC1（10分）
=

1

3

•2•

1

2

•2

2

•2=

4 2

3

（12分）

點評：本題主要考查線面垂直與線面平行的證明以及三棱錐體積的計算．是對立體幾何知識的綜合考查，難度不大，屬于中檔題．