Question

18．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₃=3a₃+2a₂，a₄=8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列b_n=log₂a_n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T_n，求使得T_n取最大值的正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出數(shù)列的公比，然后求解通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用$\left\{\begin{array}{l}{_{n}≥0}\\{_{n+1}≤0}\end{array}\right.$，求解數(shù)列的最大項(xiàng)，即可得到結(jié)果．（法二利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解）．

解答 解：（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q＞0，
由已知的S₃=3a₃+2a₂有2a₃+a₂-a₁=0，即2a₁q²+a₁q-a₁=0，又a₁＞0，
∴2q²+q-1=0，故q=$\frac{1}{2}$或q=-1（舍），…（4分）
∴a_n=a₄q^n-4=（$\frac{1}{2}$）^n-7，…6  分
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=7-n，設(shè)T_n為其最大項(xiàng)，則有：
$\left\{\begin{array}{l}{_{n}≥0}\\{_{n+1}≤0}\end{array}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{7-n≥0}\\{6-n≤0}\end{array}}\right.$，得6≤n≤7，故當(dāng)n=6或7時(shí)，T_n達(dá)到最大．…（10分）
（法2）${T_n}=\frac{n（13-n）}{2}=-\frac{1}{2}[{（n-\frac{13}{2}）^2}+\frac{169}{4}]$，亦可給分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列以及數(shù)列的函數(shù)的特征，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．