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6.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分別是BC、CC1的中點.
(1)證明:平面AEF⊥平面B1BCC1;
(2)若D為AB中點,∠CA1D=45°且AB=2,求三棱錐F-AEC的表面積.

分析 (1)由B1B⊥平面ABC,可得B1B⊥AE,利用△ABC是等邊三角形,可得AE⊥BC,可得AE⊥平面BCC1B1,即可證明平面AEF⊥平面B1BCC1
(2)由(1)可知CD⊥平面ABB1A1,CD⊥A1D,再利用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理可得AA1,F(xiàn)C.利用直角三角形的面積計算公式即可得出.

解答 證明:(1)如圖,∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是正三角形,
∴B1B⊥平面ABC,AE?平面ABC,
∴AE⊥BB1
∵E、F分別是BC、CC1的中點,∴AE⊥BC,
∵BC∩BB1=B,∴AE⊥平面B1BCC1,
∵AE?平面AEF,
∴平面AEF⊥平面B1BCC1
解:(2)由(1)可知CD⊥平面ABB1A1,A1D?平面ABB1A1
∴CD⊥A1D,
∵AB=AC=BC=2,D是AB的中點,E是BC的中點,
∴AE=CD=3,AD=CE=1,
∵∠CA1D=45°,∴A1D=CD=3,
∴AA1=A1D2AD2=2,
∵F是C1C的中點,F(xiàn)C=12AA1=22
∴三棱錐F-AEC的表面積:
S=12×1×22+12×2×22+12×1×3+12×3×222+1
=32+32

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的面積計算公式、勾股定理,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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